Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（I）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的極值；
（II）若g（x）=f（x）+

2

x

在[1，+∞）上是單調增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）
當a=-2時，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

當x變化時，f′（x），f（x）的值變化情況如下表

由上表可知，函數(shù)f（x）單調遞減區(qū)間是（0，1），單調遞增區(qū)間是（1，+∞）
極小值是f（1）=1，沒有極大值
（2）由g(x)=x2+alnx+

2

x

得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

因為g（x）在[1，+∞）上是單調增函數(shù)
所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式2x+

a

x

-

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立
令∅(x)=

2

x

-2x2則∅′(x)=-

2

x2

-4x當x∈[1，+∞）時，∅′(x)=-

2

x2

-4x＜0
∴∅(x)=

2

x

-2x2在[1，+∞）上為減函數(shù)
∅（x）的最大值為∅（1）=0
∴a≥0
故a的取值范圍為[0，+∞）