【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，過（M不過橢圓的頂點(diǎn)和中心）且斜率為k直線l交橢圓于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，且.

（1）若直線l過點(diǎn)，求的周長；

（2）若直線l過點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)R的軌跡方程；

（3）求證：為定值，并求出此定值.

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義，即可求解；

（2）設(shè)直線l方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，求出相交弦中點(diǎn)的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可求出結(jié)論；

（3）表示成坐標(biāo)關(guān)系，將用坐標(biāo)表示，直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，消元整理為一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理，即可證明為定值.

（1）解：由題意橢圓的長軸長.

的周長為.

（2）由題意直線.

由得，

由題意恒成立.設(shè)，

則，

.

即（k為參數(shù)）.

消去k得點(diǎn)R的軌跡方程為.

（3）由得，

所以，同理，

由題意直線l的方程為，代入得

，由題意.

由韋達(dá)定理得

.

綜上可知λ為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓 的長軸，長為4，過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為（）的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，直線，分別與相交于、兩點(diǎn)，設(shè)為線段的中點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點(diǎn).

(1)設(shè)P是上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大�。�

(2)當(dāng)AB＝3，AD＝2時，求二面角E－AG－C的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某款冰淇淋的包裝盒為圓臺，盒蓋為直徑為的圓形紙片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一個，假定每個冰淇淋球都是半徑為的球體，三個冰淇淋球兩兩相切，且都與冰淇淋盒蓋、盒底和盒子側(cè)面的曲面相切，則冰淇淋盒的體積為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在底面邊長為，側(cè)棱長為的正四棱柱中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.

（1）若，求異面直線與所成角的余弦；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使直線與平面所成角的正弦值是？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市《城市總體規(guī)劃（年）》提出到年實(shí)現(xiàn)“分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標(biāo)，從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身個方面構(gòu)建“分鐘社區(qū)生活圈”指標(biāo)體系，并依據(jù)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)（指數(shù)為）、良好小區(qū)（指數(shù)為）、中等小區(qū)（指數(shù)為）以及待改進(jìn)小區(qū)（指數(shù)為）個等級.下面是三個小區(qū)個方面指標(biāo)的調(diào)查數(shù)據(jù)：

注：每個小區(qū)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)，其中、、、為該小區(qū)四個方面的權(quán)重，、、、為該小區(qū)四個方面的指標(biāo)值（小區(qū)每一個方面的指標(biāo)值為之間的一個數(shù)值）.

現(xiàn)有個小區(qū)的“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如下頻數(shù)分布表：

分組

頻數(shù)

（Ⅰ）分別判斷、、三個小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說明理由；

（Ⅱ）對這個小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進(jìn)小區(qū)進(jìn)行分層抽樣，抽取個小區(qū)進(jìn)行調(diào)查，若在抽取的個小區(qū)中再隨機(jī)地選取個小區(qū)做深入調(diào)查，記這個小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知．

求；

若，且面積，求的值．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）若，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求；

（2）若，求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.

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