Question

已知函數(shù)f（x）=

4

4+2ax-a

在[0，1]上的最小值為

1

2

，
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明：f（1）+f（2）+…+f（n）＞n-

1

2

+

1

2n+1

（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）首先判斷a=0時(shí)，不合題意，從而a≠0，函數(shù)f（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)f（1）=

4

5

＞

1

2

，可以判斷f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，利用函數(shù)在[0，1]上的最小值為

1

2

，可求f（x）的解析式；
（2）先將函數(shù)化簡(jiǎn)，并用放縮法可得f(n)＞1-

1

2n+1

，再累加，利用等比數(shù)列的求和公式即可證得．

解答：解：（1）∵a=0時(shí)f（x）=

4

5

不合題意∴a≠0此時(shí)f（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)； 
又f（1）=

4

5

＞

1

2

∴f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)
∴a＜0
由f（x）=

4

4+2-a

=

1

2

∴a=-2
∴f（x）=

4x

4x+1

（6分）
（2）∵f（n）=

4n

4n+1

=1-

1

4n+1

＞1-

1

2 4n

=1-

1

2n+1

（9分）
∴f（1）+f（2）+…+f（n）＞1-

1

22

+1-

1

23

+…+1-

1

2n+1

=n-

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

=n-

1

2

+

1

2n+1

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)與不等式的綜合，關(guān)鍵是正確利用放縮法．