Question

已知不等式kx²-2x+6k＜0的解集為B，A=（1，2），A⊆B，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：利用一元二次不等式的解集，利用A⊆B的關系確定k 的取值范圍．

解答：解：①若k=0，則不等式等價為-2x＜0，所以x＞0，即B=（0，+∞）．，
因為A=（1，2），所以A⊆B成立，所以此時k=0成立．
②若k≠0，設f（x）=kx²-2x+6k，設不等式的解為x₁＜x＜x₂，
則由題意可知x₁≤1，x₂≥2．
因為x₁x₂=6＞0，所以對于方程的兩個根同號．
所以要使A⊆B，則0＜x₁≤1，
若k＞0，則

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≤0

，解得0＜k≤

2

7

．
若k＜0，f（x）=kx²-2x+6k的對稱軸為x=-

-2

2k

=

1

k

＜0，
此時函數(shù)f（x）在x＞0時單調遞減，
所以要使A⊆B，則有f（1）＜0即可，即f（1）=k-2+6k=7k-2＜0恒成立，
所以此時k＜0．
綜上滿足條件的實數(shù)k的范圍是k≤

2

7

．

點評：本題主要考查集合關系的應用，將不等式轉化為函數(shù)，利用根的分布建立不等關系是解決本題的關鍵．