Question

10．過點A（1，t）于曲線y=x³-12x相切的直線有3條，則實數(shù)t的取值范圍為（-12，-11）．

Answer 1

分析 設出切點，由斜率的兩種表示得到等式，化簡得三次函數(shù)，將題目條件化為函數(shù)有三個零點，進行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=3x²-12，
設過點A（1，t）的直線與曲線y=f（x）相切于點（x，x³-12x），
則$\frac{{x}^{3}-12x-t}{x-1}$=3x²-12，
化簡得，2x³-3x²+12+t=0，
令g（x）=2x³-3x²+12+t，
則令g′（x）=6x（x-1）=0，
則x=0，x=1．
g（0）=12+t，g（1）=t+11，
又∵過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，
則（t+12）（t+11）＜0，
解得，-12＜t＜-11．
故答案為：（-12，-11）

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義的應用，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義和切線斜率之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．