Question

9．德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即$\frac{n}{2}$）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1．對(duì)于科拉茨猜想，目前誰(shuí)也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請(qǐng)你研究：如果對(duì)正整數(shù)n（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則旅行變換后的第9項(xiàng)為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則n的所有不同值的個(gè)數(shù)為7．

Answer 1

分析 利用第9項(xiàng)為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項(xiàng)即可求出n的所有可能的取值．

解答 解：如果正整數(shù)n按照上述規(guī)則施行變換后的第9項(xiàng)為1，
則變換中的第8項(xiàng)一定是2，
則變換中的第7項(xiàng)一定是4，
變換中的第6項(xiàng)可能是1，也可能是8；
變換中的第5項(xiàng)可能是2，也可是16，
變換中的第5項(xiàng)是2時(shí)，變換中的第4項(xiàng)是4，變換中的第3項(xiàng)是1或8，變換中的第2項(xiàng)是2或16，
變換中的第5項(xiàng)是16時(shí)，變換中的第4項(xiàng)是32或5，變換中的第3項(xiàng)是64或10，變換中的第2項(xiàng)是20或3，
變換中第2項(xiàng)為2時(shí)，第1項(xiàng)為4，變換中第2項(xiàng)為16時(shí)，第1項(xiàng)為32或5，變換中第2項(xiàng)為3時(shí)，第1項(xiàng)為6，變換中第2項(xiàng)為20時(shí)，第1項(xiàng)為40，變換中第2項(xiàng)為21時(shí)，第1項(xiàng)為42，變換中第2項(xiàng)為128時(shí)，第1項(xiàng)為256，
則n的所有可能的取值為4，5，6，32，40，42，256，共7個(gè)，
$1→2→4→\left\{\begin{array}{l}{8→16→\left\{\begin{array}{l}{32→64→\left\{\begin{array}{l}{128→256}\\{21→42}\end{array}\right.}\\{5→10→\left\{\begin{array}{l}{20→40}\\{3→6}\end{array}\right.}\end{array}\right.}\\{1→2→4→\left\{\begin{array}{l}{8→16→\left\{\begin{array}{l}{32}\\{5}\end{array}\right.}\\{1→2→4}\end{array}\right.}\end{array}\right.$
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，利用變換規(guī)則，進(jìn)行逆向驗(yàn)證是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．