Question

11．已知函數(shù)f（x）=x-alnx，當x＞1時，f（x）＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （e，+∞）
• D． （-∞，e）

Answer 1

分析 由f（x）＞0對x∈（1，+∞）上恒成立可分a≤1和a＞1來討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值大于等于0的問題來求解．

解答 解：f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
當a≤1時，f'（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，
則f（x）是單調(diào)遞增的，
則f（x）＞f（1）=1恒成立，則a≤2，
當a＞1時，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a，
故f（x）在（1，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
所以只需f（x）_min=f（a）=a-alna＞0，解得：a＜e，
綜上：a＜e，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)以及利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問題；考查了利用函數(shù)的導數(shù)討論含參數(shù)不等式的恒成立問題，求參數(shù)的取值范圍，主要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題利用導數(shù)這一工具來求解．