Question

15．已知函數(shù)定義域為D的函數(shù)f（x），如果對x∈D，存在正數(shù)k，有|f（x）|≤k|x|成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的“倍約束函數(shù)”，已知下列函數(shù)：（1）f（x）=2x； （2）f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）；（3）f（x）=$\sqrt{x-1}$；（4）f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；其中是“倍約束函數(shù)”的是（　　）

• A． （1）（3）（4）
• B． （1）（2）
• C． （3）（4）
• D． （2）（3）（4）

Answer 1

分析 對①f（x）=2x，易知存在k=2符合題意；對②特值即可解答；對③先假設(shè)存在k符合題意不等式，即可通過游離參數(shù)的方法找適合的k，從而獲得解答；對④有于分母能取到最小值故倒數(shù)能取到最大值，從而易找到正數(shù)k符合定義．

解答 解：∵對任意x∈D，存在正數(shù)k，都有|f（x）|≤k|x|成立
∴對任意x∈D，存在正數(shù)k，都有k≥$\frac{|f（x）|}{|x|}$成立．
對①，f（x）=2x，易知存在k=2符合題意；
對②，取特值如令x=$\frac{π}{4}$，則$\frac{|f（x）|}{|x|}$=$\frac{2}{|x|}$，不存在k≥$\frac{2}{|x|}$恒成立；
對③先假設(shè)存在k符合題意，即可得：存在正數(shù)k有：$\sqrt{x-1}$≤k|x|，
通過分離參數(shù)可知k≥$\frac{\sqrt{x-1}}{|x|}=\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}}$，
又$\sqrt{-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2}$，從而存在正數(shù)k符合題意；
對④，由于分母能取到最小值$\frac{3}{4}$，故倒數(shù)能取到最大值$\frac{4}{3}$，
從而易找到正數(shù)k=$\frac{4}{3}$符合定義．
故選：A．

點評 本題考查的是新定義問題與恒成立問題相結(jié)合的綜合類問題．正確理解題目中給的新定義是解決問題的關(guān)健．同時要掌握恒成立問題的解題方法，是中檔題．