Question

如圖，A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，若橢圓C的離心率為

1

2

，且右準線l的方程為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交直線MB于點Q，試證明：直線PQ與x軸的交點R為定點，并求出R點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C的離心率為

1

2

，且右準線l的方程為x=4，聯(lián)立方程組成方程組，即可求得橢圓C的方程；
（2）設直線AM的方程，可得點P的坐標，根據(jù)MQ⊥PQ，可得k_MQ•k_PQ=-1，利用M在橢圓上，即可得直線PQ與x軸的交點R為定點．

解答：（1）解：由題意：

c a = 1 2 a2 c =4 a2=b2+c2

，解得

a=2 b= 3

．∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．      …（6分）
（2）證明：由（1）知，A（-2，0），B（2，0），
設M（x₀，y₀），R（t，0），則直線AM的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，
令x=4，得y=

6y0

x0+2

，即點P的坐標為(4，

6y0

x0+2

)，…（9分）
由題意，MQ⊥PQ，∴k_MQ•k_PQ=-1，∴

y0

x0-2

•

6y0 x0+2

4-t

=-1，即

y 2 0

(x0-2)(x0+2)

=-

4-t

6

，…（12分）
又

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，∴

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)，∴-

4-t

6

=-

3

4

，∴t=-

1

2

．
∴直線PQ與x軸的交點R為定點(-

1

2

，0)．   …（16分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．