Question

3．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一條漸近線方程為2x+y=0，則C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意設(shè)出雙曲線的方程，得到它的一條漸近線方程y=$\frac{a}$x即y=-2x，由此可得b：a=2：1，結(jié)合雙曲線的平方關(guān)系可得c與a的比值，求出該雙曲線的離心率．

解答 解：∵雙曲線的方程為 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，結(jié)合題意一條漸近線方程為y=-2x，
得 b：a=2：1，
設(shè)a=t，b=2t，則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$t（t＞0）
∴該雙曲線的離心率是e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}t}{t}$=$\sqrt{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．