Question

7．在銳角△ABC中，$B＞\frac{π}{6}$，$sin（{A+\frac{π}{6}}）=\frac{3}{5}$，$cos（{B-\frac{π}{6}}）=\frac{4}{5}$，則sin（A+B）=$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦公式，求得sin（A+B）=sin[（A+$\frac{π}{6}$）+（B-$\frac{π}{6}$）]的值．

解答 解：∵銳角△ABC中，$B＞\frac{π}{6}$，$sin（{A+\frac{π}{6}}）=\frac{3}{5}$，$cos（{B-\frac{π}{6}}）=\frac{4}{5}$，
∴cos（A+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（A+\frac{π}{6}）}$=$\frac{4}{5}$，sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1{-cos}^{2}（B-\frac{π}{6}}）$=$\frac{3}{5}$，
則sin（A+B）=sin[（A+$\frac{π}{6}$）+（B-$\frac{π}{6}$）]=sin（A+$\frac{π}{6}$）cos（B-$\frac{π}{6}$）+cos（A+$\frac{π}{6}$）cos（B-$\frac{π}{6}$）]=$\frac{3}{5}•\frac{4}{5}$+$\frac{4}{5}•\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$，
故答案為：$\frac{24}{25}$．

點評 本同題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．