【題目】已知,函數(shù).

1)若,證明:函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù);

2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;

3)若函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn),且的導(dǎo)數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線至少有2條,求實(shí)數(shù)的值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2)當(dāng)時(shí),最大值為;當(dāng)時(shí),最大值為3

【解析】

1)由題,利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間即可;

2)利用導(dǎo)數(shù)可以推導(dǎo)得到在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),則當(dāng)時(shí),的最大值為中的最大值,作差可得,設(shè),再次利用導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)的單調(diào)性,進(jìn)而得到上的最大值;

3)由題可得,設(shè)切點(diǎn)為,處的切線方程為:,將代入可得,則將原命題等價(jià)為關(guān)于的方程至少有2個(gè)不同的解,設(shè),進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性,從而求解即可

1)證明:,則,

當(dāng)時(shí),,

,即此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).

2)由(1)知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),

當(dāng)時(shí),,則,,則在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù);

同理,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù);

即當(dāng),且時(shí),在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),

則當(dāng)時(shí),的最大值為中的最大值,

,

,

,

上為增函數(shù),

,

當(dāng)時(shí),,即,此時(shí)最大值為;

當(dāng)時(shí),,即,此時(shí)最大值為.

3,

,

的圖像過(guò)原點(diǎn),

,即,則,

設(shè)切點(diǎn)為,則處的切線方程為:,

代入得,

(※),

則原命題等價(jià)為關(guān)于的方程(※)至少有2個(gè)不同的解,

設(shè),

,

,,

,

當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)為增函數(shù);

當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)減函數(shù),

的極大值為,

的極小值為,

設(shè),則,則原命題等價(jià)為,對(duì)恒成立,

,

設(shè),,

,,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,

的最大值為,,

,

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線至少有2條,此時(shí)實(shí)數(shù)m的值為

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1)求橢圓的方程;

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