Question

20．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若橢圓外存在一點(diǎn)P，滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則橢圓C的離心率e的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 由題意可知：△PF₁F₂是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²=丨$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$丨²，由（丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨）²≤2（丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²）=2丨$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$丨²=8c²，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{丨\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}丨}{丨\overrightarrow{P{F}_{1}}丨+丨\overrightarrow{P{F}_{2}}丨}$≥$\frac{2c}{2\sqrt{2}c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由0＜e＜1，即可求得橢圓C的離心率e的取值范圍．

解答 解：橢圓上存在點(diǎn)使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴△PF₁F₂是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
∵丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=2a，丨$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$丨=2c，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{丨\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}丨}{丨\overrightarrow{P{F}_{1}}丨+丨\overrightarrow{P{F}_{2}}丨}$，
由（丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨）²≤2（丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²）=2丨$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$丨²=8c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{丨\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}丨}{丨\overrightarrow{P{F}_{1}}丨+丨\overrightarrow{P{F}_{2}}丨}$≥$\frac{2c}{2\sqrt{2}c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜e＜1
∴該橢圓的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
故答案為[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．