Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

ax²-（1+a）x（a∈R）
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在（2，3）上有極值點(diǎn)，求a的范圍；
（3）求證：

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

lnn

n

＜

n(n-1)

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=

1

x

+ax-（1+a）=

ax2-(1+a)x+1

x

=

(x-1)(ax-1)

x

，分當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)a＞1時(shí)，四種情況，討論可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在（2，3）上有極值點(diǎn)，2＜

1

a

＜3，解得a的范圍；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx-x＜f（1）=-1在（1，+∞）上恒成立，即lnx≤x-1，即

lnx

x

≤

x-1

x

在（1，+∞）上恒成立，進(jìn)而利用放縮法，可證得結(jié)論．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

+ax-（1+a）=

ax2-(1+a)x+1

x

=

(x-1)(ax-1)

x

，
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，1]和[

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增，在[1，

1

a

]上單調(diào)遞減；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，

1

a

]和[1，+∞）上單調(diào)遞增，在[

1

a

，1]上單調(diào)遞減；
（2）由（1）得若函數(shù)f（x）在（2，3）上有極值點(diǎn)，
則2＜

1

a

＜3，
解得

1

3

＜a＜

1

2

；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞減；
故f（x）=lnx-x＜f（1）=-1在（1，+∞）上恒成立，
即lnx≤x-1，即

lnx

x

≤

x-1

x

在（1，+∞）上恒成立，
∴

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

lnn

n

＜

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n-1

n

＜1+2+3+…+（n-1）=

n(n-1)

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是導(dǎo)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大．