Question

已知點(diǎn)P（-3，0），點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸非負(fù)半軸上，點(diǎn)M在直線(xiàn)AQ上，滿(mǎn)足·=0，=-.
（1）當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)軌跡C的準(zhǔn)線(xiàn)為l,焦點(diǎn)為F，過(guò)F作直線(xiàn)m交軌跡C于G，H兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作平行于軌跡C的對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)n,且n∩l=E，試問(wèn)點(diǎn)E，O，H（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是否在同一條直線(xiàn)上？并說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）M點(diǎn)的軌跡方程為y²=4x，（2）O，E，H三點(diǎn)共線(xiàn)

（1）設(shè)M（x,y）為軌跡上任意一點(diǎn)，
A（0,b）,Q(a,0)(a≥0),
則=（x,y-b），="(a-x,-y),"
∵=-，
∴（x，y-b）=-（a-x，-y），
∴，從而.
∴A，且=, =.
∵·=0，
∴·=0，即3x-y²=0,
∴y²=4x,故M點(diǎn)的軌跡方程為y²=4x.
(2)軌跡C的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)為l:x=-1,對(duì)稱(chēng)軸為x軸.設(shè)直線(xiàn)m的方程為y=k(x-1)(k≠0),
由ky²-4y-4k=0,
設(shè)G（x₁,y₁）,H(x₂,y₂),
則由根與系數(shù)的關(guān)系得，y₁y₂=-4,
又由已知=（-1，y₁),=,
∴(-1)×y₂-y₁×=-y₂-·y₂=-y₂+y₂=0,
∴∥,故O，E，H三點(diǎn)共線(xiàn).