Question

【題目】已知函數(shù)，且，對任意實數(shù)，成立.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若，解關(guān)于的不等式；

（3）求最大的使得存在，只需，就有.

Answer 1

【答案】（1）；（2時，；時，；時，；（3）

【解析】

（1）根據(jù)和聯(lián)立求解得到答案.

（2）討論，和三種情況，分別計算得到答案.

（3）假設(shè)存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．那么當(dāng)x＝1時也成立確定出t的范圍，然后研究當(dāng)x＝m時也應(yīng)成立，利用函數(shù)的單調(diào)性求出m的最值．

（1），恒成立，則 且

即

（2）即

當(dāng)時：解得；當(dāng)時：

故當(dāng)時：，不等式無解；

故當(dāng)時：，不等式解為

綜上所述：時，；時，；時，

（3）假設(shè)存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

取x＝1，有f（t+1）≤1，即（t+1）2（t+1）1，解得﹣4≤t≤0，

對固定的t∈[﹣4，0]，取x＝m，有f（t+m）≤m，即（t+m）2（t+m）m．

化簡有：m2﹣2（1﹣t）m+（t2+2t+1）≤0，解得1﹣tm≤1﹣t，

故m≤1﹣t1﹣（﹣4）9

當(dāng)t＝﹣4時，對任意的x∈[1，9]，

恒有f（x﹣4）﹣x（x2﹣10x+9）（x﹣1）（x﹣9）≤0．

∴m的最大值為9．