Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ，;（2）證明見解析；（3） ．

【解析】

試題分析：（1）尋找關(guān)于a,b的兩個方程如（2）根據(jù)的單調(diào)性定義證明.（3）由單調(diào)遞減則且滿足的定義域，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)a的不等式.

試題解析：（1）∵在定義域為是奇函數(shù).所以，即，∴.

又由，即，∴，檢驗知，當(dāng)，時，原函數(shù)是奇函數(shù).

（2）由（1）知，任取，設(shè)，則

，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，且，所以，又，∴即，∴函數(shù)在上是減函數(shù).

（3）因是奇函數(shù)，從而不等式等價于，因在上是減函數(shù)，由上式推得，即對一切有：恒成立，

設(shè)，令，則有，∴，∴，即的取值范圍為.