Question

已知函數, 在處取得極小值2．
（1）求函數的解析式；
（2）求函數的極值；
（3）設函數， 若對于任意，總存在， 使得， 求實數 的取值范圍．

Answer 1

（1）函數的解析式為 ；（2）時，函數有極小值-2；當時，函數有極大值2 ；（3）a的取值范圍是(-∞,-1］∪［ 3,+∞).

試題分析：（1）根據函數在極值處導函數為0，極小值為2聯立方程組即可求得m，n；（2）由（1）求得函數解析式，對函數求導且讓導函數為0，即可求得極大值和極小值；（3）依題意只需即可，當時，函數有最小值-2 ，即對任意總存在，使得的最小值不大于-2 ；而，分、、三種情況討論即可.
試題解析：（1）∵函數在處取得極小值2，∴         1分
又     ∴    
由②式得m=0或n=1，但m=0顯然不合題意       ∴，代入①式得m=4
∴                                      2分
經檢驗，當時，函數在處取得極小值2 
∴函數的解析式為                          4分
（2）∵函數的定義域為且由（1）有
令，解得：
∴當x變化時，的變化情況如下表：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
	—	0	+	0	—
	減	極小值-2	增	極大值2	減

∴時，函數有極小值-2；當時，函數有極大值2    8分
（3）依題意只需即可．
∵函數在時，；在時，且
∴ 由（2）知函數的大致圖象如圖所示：

∴當時，函數有最小值-2                          10分
又對任意總存在，使得 ∴當時，的最小值不大于-2
又
①當時，的最小值為   ∴得；
②當時，的最小值為  ∴得；
③當時，的最小值為  ∴得或
又∵   ∴此時a不存在
綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1］∪［3,+∞)．                   13分