Question

（本小題滿分14分）設(shè)．
（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；
(2) 若函數(shù)處取得極小值是，求的值，并說明在區(qū)間內(nèi)函數(shù)
的單調(diào)性．

Answer 1

（1）；（2）f(x)在(1,3)內(nèi)減，在[3,4)內(nèi)增．

第一問中利用導(dǎo)數(shù)的思想，根據(jù)逆向問題，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減,,則說明導(dǎo)數(shù)恒大于等于零在給定區(qū)間成立，然后分離參數(shù)的思想得到參數(shù)的取值范圍。
第二問中，由于函數(shù)函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值是1，結(jié)合導(dǎo)數(shù)為零，以及該點(diǎn)的函數(shù)值為1，得到參數(shù)a的值，然后，代入原式中，判定函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性即可。
解：
⑴∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，
∵，∴．
⑵∵函數(shù)f(x)在x=a處有極值是，∴f(a)=1．
即．
∴，所以a=0或3．
a=0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，所以f(0)為極大值，
這與函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值是1矛盾，
所以．
當(dāng)a=3時(shí)，f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(3)為極小值，
所以a=3時(shí)，此時(shí)，在區(qū)間(1,4)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)性是：
f(x)在(1,3)內(nèi)減，在[3,4)內(nèi)增．