【題目】已知三棱臺ABC﹣A1B1C1中,平面BB1C1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,BB1=CC1=B1C1=2,BC=4,AC=6
(1)求證:BC1⊥平面AA1C1C
(2)點D是B1C1的中點,求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值.

【答案】
(1)證明:梯形BB1C1C中,BB1=CC1=B1C1=2,BC=4得: ,從而BC1⊥CC1,

因為平面BB1C1C⊥平面ABC,且AC⊥BC,

所以AC⊥平面BB1C1C,因此BC1⊥AC,

因為AC∩CC1=C,所以BC1⊥平面AA1C1C


(2)解:如圖,以CA,CB所在直線分別為x軸,y軸,點C為原點建立空間直角坐標系,則A(6,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),C1(0,1, ),B1(0,3, ),D(0,2, ),A1(3,1, ),

平面BB1D的法向量 =(1,0,0),設(shè)平面AB1D的法向量為 =(x,y,z),

,

令z= ,得 , ),

所以所求二面角的余弦值是﹣ =﹣


【解析】(1)證明BC1⊥CC1 , BC1⊥AC,即可證明BC1⊥平面AA1C1C(2)以CA,CB所在直線分別為x軸,y軸,點C為原點建立空間直角坐標系,求出平面的法向量,即可求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

練習冊系列答案
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A.p∧q
B.¬p∧¬q
C.p∧¬q
D.¬p∧q

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1求證:;

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(1)給出數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離;
(2)設(shè)A為滿足遞推關(guān)系an+1= 的所有數(shù)列{an}的集合,{bn}和{cn}為A中的兩個元素,且項數(shù)均為m,若b1=2,c1=3,{bn}和{cn}的距離小于2016,求m的最大值;
(3)記S是所有7項數(shù)列{an|1≤n≤7,an=0或1}的集合,TS,且T中任何兩個元素的距離大于或等于3,證明:T中的元素個數(shù)小于或等于16.

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A. 26,16,8 B. 25,16,9

C. 25,17,8 D. 24,17,9

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