【題目】已知函數(shù)

(1)證明:函數(shù)在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn),且;

(2)證明:函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)求出,再說(shuō)明在區(qū)間單調(diào)遞增,且,即可。

2)驗(yàn)證,即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn);說(shuō)明當(dāng)無(wú)零點(diǎn);當(dāng)時(shí)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。即得證。

證明:(1)由

,當(dāng)時(shí),函數(shù)為增函數(shù),指數(shù)函數(shù)也為增函數(shù),故當(dāng)時(shí),函數(shù)為增函數(shù).

又因?yàn)?/span>,可得,有

,故存在唯一的使得

所以當(dāng)時(shí),即;當(dāng)時(shí),,即,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn),且

(2)①由,可得是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn);

②當(dāng)時(shí),,可得,此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn);

③當(dāng)時(shí),由

由(1)知,可得函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上,函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某高校在2016年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如下表所示.

組號(hào)

分組

頻數(shù)

頻率

1

5

0.050

2

n

0.350

3

30

p

4

20

0.200

5

10

0.100

合計(jì)

100

1.000

(1)求頻率分布表中n,p的值,并估計(jì)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(保留l位小數(shù));

(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績(jī)高的第3、45組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,則第34、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試?

(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定從6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受甲考官的面試,求第4組至少有1名學(xué)生被甲考官面試的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬、“馬主曰:“我馬食半牛,”今欲衰償之,問(wèn)各出幾何?此問(wèn)題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟、羊主人說(shuō):“我羊所吃的禾苗只有馬的一半,”馬主人說(shuō):“我馬所吃的禾苗只有牛的一半,“打算按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?該問(wèn)題中,1斗為10升,則馬主人應(yīng)償還( )升粟?

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,為矩形,是以為直角的等腰直角三角形,平面平面

(Ⅰ)證明:平面平面

(Ⅱ)為直線的中點(diǎn),且,求二面角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某企業(yè)通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷(滿(mǎn)分50分)的形式對(duì)本企業(yè)900名員工的工作滿(mǎn)意程度進(jìn)行調(diào)查,并隨機(jī)抽取了其中30名員工(16名女工,14名男工)的得分,如下表:

47

36

32

48

34

44

43

47

46

41

43

42

50

43

35

49

37

35

34

43

46

36

38

40

39

32

48

33

40

34

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),估計(jì)該企業(yè)得分大于45分的員工人數(shù);

(2)現(xiàn)用計(jì)算器求得這30名員工的平均得分為40.5分,若規(guī)定大于平局得分為 “滿(mǎn)意”,否則為 “不滿(mǎn)意”,請(qǐng)完成下列表格:

“滿(mǎn)意”的人數(shù)

“不滿(mǎn)意”的人數(shù)

合計(jì)

女員工

16

男員工

14

合計(jì)

30

(3)根據(jù)上述表中數(shù)據(jù),利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下,認(rèn)為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿(mǎn)意”有關(guān)?

參考數(shù)據(jù):

P(K2K)

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001

K

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知兩點(diǎn),線段的直徑

1)求的方程;

2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線截得的弦長(zhǎng)為8,求此直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】一個(gè)盒子里裝有大小均勻的6個(gè)小球,其中有紅色球4個(gè),編號(hào)分別為1,23,4;白色球2個(gè),編號(hào)分別為4,5,從盒子中任取3個(gè)小球(假設(shè)取到任何個(gè)小球的可能性相同).

1)求取出的3個(gè)小球中,含有編號(hào)為4的小球的概率;

2)在取出的3個(gè)小球中,小球編號(hào)的最大值設(shè)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】IT從業(yè)者繪制了他在26歲~35(2009年~2018)之間各年的月平均收入(單位:千元)的散點(diǎn)圖:

1)由散點(diǎn)圖知,可用回歸模型擬合的關(guān)系,試根據(jù)附注提供的有關(guān)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程

2)若把月收入不低于2萬(wàn)元稱(chēng)為“高收入者”.

試?yán)茫?/span>1)的結(jié)果,估計(jì)他36歲時(shí)能否稱(chēng)為“高收入者”?能否有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系?

附注:①.參考數(shù)據(jù):,,,,,其中,取,

.參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,

PK2k

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)且當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線,若這兩條切線互相垂直,則該函數(shù)的最小值為( )

A. B. C. D.

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