【題目】已知橢圓的左右焦點分別為, 上的動點到兩焦點的距離之和為4,當點運動到橢圓的上頂點時,直線恰與以原點為圓心,以橢圓的離心率為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左右頂點分別為,若交直線于兩點.問以為直徑的圓是否過定點?若過定點,請求出該定點坐標;若不過定點,請說明理由.
【答案】(1);(2),
【解析】試題分析:(1)由橢圓定義可知,,由原點到直線的距離求出,得到橢圓的標準方程;(2)設(shè),,則,,由,得,求出M,N的坐標,因為,故以為直徑的圓與軸交于兩點,在以為直徑的圓中應(yīng)用相交弦定理求出,從而以為直徑的圓恒過兩個定點,.
試題解析:(1)由橢圓定義可知,,
直線,
故,
∴,
故橢圓的標準方程為:.
(2)設(shè),點,則,,
由,得:,
直線方程為:,令,則,故;
直線方程為:,令,則,故;
因為,故以為直徑的圓與軸交于兩點,設(shè)為,
在以為直徑的圓中應(yīng)用相交弦定理得:
,
因為,所以,
從而以為直徑的圓恒過兩個定點,.
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【題目】若由方程x2-y2=0和x2+(y-b)2=2所組成的方程組至多有兩組不同的實數(shù)解,則實數(shù)b的取值范圍是( )
A. b≥2或b≤-2 B. b≥2或b≤-2
C. -2≤b≤2 D. -2≤b≤2
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【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率都為,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃都命中的概率:先由計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4,5表示命中;6,7,8,9,0表示不命中,再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):
162 966 151 525 271 932 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 163 537 989
據(jù)此估計,該運動員三次投籃都命中的概率為
A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.35
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【題目】為了解某冷飲店的經(jīng)營狀況,隨機記錄了該店月的月營業(yè)額(單位:萬元)與月份的數(shù)據(jù),如下表:
(1)求關(guān)于的回歸直線方程;
(2)若在這樣本點中任取兩點,求恰有一點在回歸直線上的概率.
附:回歸直線方程中,
,.
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【題目】某市每年春節(jié)前后,由于大量的煙花炮竹的燃放,空氣污染較為嚴重.該市環(huán)保研究所對近年春節(jié)前后每天的空氣污染情況調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn),每天空氣污染的指數(shù)隨時刻(時)變化的規(guī)律滿足表達式,,其中為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù),且.
(1)令,求的取值范圍;
(2)若規(guī)定每天中的最大值作為當天的空氣污染指數(shù),要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過5,試求調(diào)節(jié)參數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+2|+|x-2|,x∈R,不等式f(x)≤6的解集為M.
(1)求M;
(2)當a2,b2∈M時,證明: |a+b|≤|ab+3|.
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【題目】如圖,已知四棱錐P—ABCD,底面ABCD是邊長為4的菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點.
(Ⅰ)求證:AE⊥PD;
(Ⅱ)若PA=4,求二面角E—AF—C的余弦值.
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【題目】通常用、、分別表示的三個內(nèi)角、、所對的邊長,表示的外接圓半徑.
(1)如圖,在以為圓心,半徑為的圓中,、是圓的弦,其中,,角是銳角,求弦的長;
(2)在中,若是鈍角,求證:;
(3)給定三個正實數(shù)、、,其中,問、、滿足怎樣的關(guān)系時,以、為邊長,為外接圓半徑的不存在、存在一個或存在兩個(全等的三角形算作同一個)?在存在的情況下,用、、表示.
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【題目】已知拋物線的頂點在原點,過點A(-4,4)且焦點在x軸.
(1)求拋物線方程;
(2)直線l過定點B(-1,0)與該拋物線相交所得弦長為8,求直線l的方程.
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