Question

【題目】某足球俱樂部對“一線隊引援”和“青訓(xùn)”投入分別規(guī)劃如下：2018年，該俱樂部在“一線隊引援”投入資金為16000萬元，“青訓(xùn)”投入資金為1000萬元.計劃每年“一線隊引援”投入比上一年減少一半，“青訓(xùn)”投入比上一年增加一倍.

（1）請問哪一年該俱樂部“一線隊引援”和“青訓(xùn)”投入總和最少?

（2）從2018年起（包括2018年）該俱樂部從哪一年開始“一線隊引援”和“青訓(xùn)”總投入之和不低于62000萬元?（總投入是指各年投入之和）

Answer 1

【答案】（1）2020年，投入總和最少；（2）2022年開始，總投入之和不低于62000萬.

【解析】

（1）從2018年算起，設(shè)第n年“一線隊引援”投入資金為an，“青訓(xùn)”投入資金為bn，投入總和為cn，寫出數(shù)列{cn}的通項公式，利用基本不等式即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式得出前n年的總投入之和，列不等式解出n即可．

（1）從2018年算起，設(shè)第n年“一線隊引援”投入資金為an，

“青訓(xùn)”投入資金為bn，投入總和為cn，

則{an}是以16000為首項，以為公比的等比數(shù)列，

{bn}是以1000為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

，，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

所以2020年，該俱樂部“一線隊引援”和“青訓(xùn)”投入總和最少；

（2）設(shè){cn}的前項和為Tn，

則，

令，

令，則，解得，（舍去），

即，，

所以從2018年算起的第5年即2022年開始，“一線隊引援”和“青訓(xùn)”總投入之和不低于62000萬.