Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax+ ，其中函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x﹣1．
（1）若a= ，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：1+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a﹣ ，

則有 ，解得 ，

由a= ，得b=﹣ ，c=0，

故f（x）= x﹣ ；

（2）解：由（1）知f（x）=ax+ +1﹣2a，

令φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax+ +1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），

則φ（1）=0，φ′（x）=a﹣ ﹣ = ，

（ i）當(dāng)0＜a＜ 時(shí)， ＞1．

若1＜x＜ ，則φ′（x）＜0，φ（x）是減函數(shù)，

所以φ（x）＜φ（1）=0，即f（x）＜g（x）．

故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上不恒成立．

（ii）當(dāng)a≥ 時(shí)， ≤1．

若x＞1，則φ'（x）＞0，φ（x）是增函數(shù)，

所以φ（x）＞φ（1）=0，即f（x）＞g（x），

故當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥g（x）．

綜上所述，所求a的取值范圍為[ ，+∞）．

（3）證明：由（2）知當(dāng)a≥ 時(shí)，有f（x）≥g（x）（x≥1）．

令a= ，有f（x）= （x﹣ ）≥lnx

且當(dāng)x＞1時(shí)， （x﹣ ）＞lnx．

令x= ，有l(wèi)n ＜ （ ﹣ ）= [（1+ ）﹣（1﹣ ）]

∴l(xiāng)n（k+1）﹣lnk＜ （ + ），k=1，2，3，…，n，

將上述n個(gè)不等式依次相加，得ln（n+1）＜ +（ + +…+ ）+ ，

整理得1+ + +…+ ＞ln（n+1）+ ．

【解析】（1）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值就是切線的斜率，切點(diǎn)在切線上，求出b，c，從而求出函數(shù)的解析式即可；（2）利用f（x）≥lnx，構(gòu)造g（x）=f（x）﹣lnx，問題轉(zhuǎn)化為g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范圍；（3）由（1）可知a≥ 時(shí)，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，則當(dāng)a= 時(shí)， （x﹣ ）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，對(duì)不等式的左側(cè)每一項(xiàng)裂項(xiàng)，然后求和，即可推出要證結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．