Question

9．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且 f（2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有xf′（x）-f（x）＞0恒成立，則不等式f（x）＜0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（0，2）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性求出不等式的解集即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，有xf′（x）-f（x）＞0恒成立，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
∵f（-x）=f（x），
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)，
∴g（x）在（-∞，0）遞增，
∵f（2）=0
∴g（2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0等價(jià)于$\frac{f（x）}{x}$＜0，
∴g（x）＜0=g（2），
∴0＜x＜2，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0等價(jià)于$\frac{f（x）}{x}$＞0，
∴g（x）＞0=g（-2），
∴-2＜x＜0，
不等式f（x）＜0的解集為（-2，0）∪（0，2），
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．