Question

（2012•眉山一模）設(shè){b_n}是等差數(shù)列，b₁+b₂+b₃=15，b₃+b₅+b₇=33，S_n是數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和，令Tn=

4Sn+7

bn

，若Tn≥a對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立，則a的取值范圍為（　�。�

• A．（-∞，6]
• B．(-∞，

  19

  3

  ]
• C．(-∞，

  13

  3

  ]
• D．(-∞，

  15

  3

  ]

Answer 1

分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 b₂ =5，b₅=11，由此求得首項(xiàng)和公差，從而求得通項(xiàng)b_n=2n+1，從而求得S_n和T_n的解析式，進(jìn)而求得Tn=

4Sn+7

bn

有最小值等于

19

3

，
由此求得a的取值范圍．

解答：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得b₁+b₂+b₃=15=3b₂，故 b₂ =5；同理可得 b₃+b₅+b₇=33=3b₅，故 b₅=11．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差等于d，則有 3d=b₅-b₂ =6，故d=2，故 b₁=3，∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1，故S_n=n×3+

n(n-1)

2

×2=n²+2n，
∴Tn=

4Sn+7

bn

=

4(n2+2n)+7

2n+1

=（2n+1）+

4

2n+1

+2．
函數(shù)y=x+

4

x

在（2，+∞）上單調(diào)遞增，由于2n+1≥3，故當(dāng)2n+1=3 時(shí)，Tn=

4Sn+7

bn

有最小值等于

19

3

．
若T_n≥a對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立，應(yīng)有a≤

19

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列與不等式綜合，屬于中檔題．