已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，
3
）在直線x=
a2
b
上，線段PF1的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2．直線y=kx+m與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，且橢圓E上存在點(diǎn)M，使
OA
+
OB
=λ
OM
，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，λ是實(shí)數(shù)．
（1）求λ的取值范圍；
（2）當(dāng)λ取何值時(shí)，△ABO的面積最大？最大面積等于多少？
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）根據(jù)題意得
b2
a
=2
|F1F2|2=(2c)2=|PF2|2=(2-c)2+3
a2=b2+c2
，由此能求出橢圓E的方程，由
y=kx+m
x2+2y2=2
，得 （1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
（2）當(dāng)λ=0時(shí)，m=0，此時(shí)A，B，O三點(diǎn)在一條直線上，不構(gòu)成△ABO，為使△ABO的面積最大，λ≠0，利用橢圓弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式求出△AOB的面積S=
1
2
|AB|•d=
2
|m|
1+2k2-m2
1+2k2
，由此求出λ=±
2
時(shí)，△ABO的面積最大面積為
2
2
．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，根據(jù)題意得：
b2
a
=2
|F1F2|2=(2c)2=|PF2|2=(2-c)2+3
a2=b2+c2
，
解得a=
2
，b=1，c=1，
∴橢圓E的方程為
x2
2
+y2=1，
由
y=kx+m
x2+2y2=2
，得 （1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
根據(jù)已知得關(guān)于x的方程（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
化簡(jiǎn)，得1+2k2＞m2，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-2
1+2k2
，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=
2m
1+2k2
，
①當(dāng)λ=0時(shí)，點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，m=0，滿足題意；
②當(dāng)λ≠0時(shí)，點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，m≠0，
由
OA
+
OB
=λ
OM
，得
xM=
1
λ
(x1+x2)
yM=
1
λ
(y1+y2)
，即
xM=
-4km
λ(1+2k2)
yM=
2m
λ(1+2k2)
，
∵M(jìn)在橢圓E是，
∴
1
2
[
-4km
λ(1+2k2)
]2+[
2m
λ(1+2k2)
]2=1，
化簡(jiǎn)，得4m2=λ2（1+2k2），
∵1+2k2＞m2，∴4m2＞λ2m2
∵m≠0，∴λ2＜4，即-2＜λ＜2，且λ≠0，
綜合①②兩種情況，得實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-2，2）．
（2）當(dāng)λ=0時(shí)，m=0，此時(shí)A，B，O三點(diǎn)在一條直線上，不構(gòu)成△ABO，
為使△ABO的面積最大，λ≠0，
∵
x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-2
1+2k2
，
∴|AB|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
，
=
2
2
1+k2
•
1+2k2-m2
1+2k2
，
∵原點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=
|m|
1+k2
，
∴△AOB的面積S=
1
2
|AB|•d=
2
|m|
1+2k2-m2
1+2k2
，
∵4m2=λ2（1+2k2），λ≠0，∴1+2k2=
4m2
λ2
，
∴S=
2
|m|
4m2
λ2
-m2
4m2
λ2
=
2
λ2
4
λ2
-1
4

=
2
•
4λ2-λ4
4
=
2
4
λ2(4-λ2)
，
∵
λ2(4-λ2)
≤
λ2+4-λ2
2
=2，
∴S≤
2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)λ=±
2
時(shí)，等號(hào)成立，
∴λ=±
2
時(shí)，△ABO的面積最大，最大面積為
2
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要注意橢圓弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線C與拋物線x2=2px（p＞0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，且AF⊥y軸，則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
5
+1
2
B、
2
+1
C、
3
+1
D、
2
2
+1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A（1，3）和直線l：2x+3y-6=0，點(diǎn)B在l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是有向線段AB上的分點(diǎn)，且
AP
=
1
2
PB
，則點(diǎn)P的軌跡方程是（　�。�
A、6x-9y-28=0
B、6x-9y+28=0
C、6x+9y-28=0
D、6x+9y+28=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，6}，B={1，3，5，7}，則A∩（∁UB）等于（　�。�
A、{2，4，6}
B、{1，3，5}
C、{2，4，5}
D、{2，5}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=[x2-（a+2）x-2a2+a+2]ex．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+
2a2
x
+x（a≠0）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）單調(diào)性；
（3）當(dāng)a∈（-∞，0）時(shí)，記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-ax-1，其中a為實(shí)數(shù)，
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）=0在（0，2]上有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍；
（3）設(shè)ak，bk（k=1，2…，n）均為正數(shù)，且a1b1+a2b2…anbn≤b1+b2…bn，求證：
a
b1
1
a
b2
2
…
a
bn
n
＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知an+1=-an-2bn且bn+1=6an+6bn，a1=2，b1=4，求an、bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等差數(shù)列{an}中，a3+a4=9，a2a5=18，則a1a6=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案