(本小題滿分12分)已知函數,,
(1) 判斷函數的奇偶性,并證明;
(2) 判斷的單調性,并說明理由。(不需要嚴格的定義證明,只要說出理由即可)
(3) 若,方程是否有根?如果有根,請求出一個長度為1的區(qū)間,使;如果沒有,請說明理由。(注:區(qū)間的長度=)
(1) 為奇函數,證明:見解析;
(2)時,單調遞增;,單調遞減。
(3)方程有根。
解析試題分析:(1)根據f(-x)=-f(x)可知此函數是奇函數。
(2) 分a>1和0<a<1兩種情況研究即可。a>1時,是兩個增函數的和,0<a<1時,是兩個減函數的和。
從而確定其單調性與底數a有關系。
(3) 當,,又,再令,
然后判斷g(-1),g(0)的值,從而判斷y=g(x)在(-1,0)上是否存在零點,從而達到證明f(x)=x+1是否在(-1,0)上有根的目的。
(1) 為奇函數……………………1分
證明:∵的定義域為R,關于原點對稱 …………………2分
又 …………………………………………3分
所以可知為奇函數……………………………………………4分
(2) ∵=
① 當時,單調遞增,單調遞減,
所以單調遞增…………………………………………………6分
②當時,單調遞減,單調遞增,
所以單調遞減。
綜上可知時,單調遞增;,單調遞減。
………………………………………………8分
(3)當,,又
設…………………………………9分
∵ ………………………………………………10分
∴ ,故存在零點
即方程有根……………………………………………12分
考點:函數的單調性,奇偶性,函數的零點與方程的根的關系。
點評:掌握判斷函數奇偶性的方法:一要看定義域是否關于原點對稱,二要看f(-x)與f(x)的關系。
要掌握函數單調性的定義,它是證明抽象函數單調性的依據。函數的零點與方程的根的關系要搞清楚,它是實現根與零點的判斷轉化的依據。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數是奇函數:
(1)求實數和的值;
(2)證明在區(qū)間上的單調遞減
(3)已知且不等式對任意的恒成立,求實數的取值范圍.
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武漢市某地西瓜從2012年6月1日起開始上市。通過市場調查,得到西瓜種植成本Q(單位:元/kg)與上市時間t(單位:天)的數據如下表:
時間t | 50 | 110 | 250 |
種植成本Q | 150 | 108 | 150 |
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(本題滿分12分)某公司試銷一種新產品,規(guī)定試銷時銷售單價不低于成本單價500元/件,又不高于800元/件,經試銷調查,發(fā)現銷售量y(件)與銷售單價(元/件)之間,可近似看做一次函數的關系(圖象如圖所示).
(1)根據圖象,求一次函數的表達式;
(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價-成本總價)為S元:
①求S關于的函數表達式;
②求該公司可獲得的最大毛利潤,并求出此時相應的銷售單價.
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