Question

【題目】對(duì)于四面體ABCD，以下命題中，真命題的序號(hào)為（填上所有真命題的序號(hào)）
①若AB=AC，BD=CD，E為BC中點(diǎn)，則平面AED⊥平面ABC；
②若AB⊥CD，BC⊥AD，則BD⊥AC；
③若所有棱長(zhǎng)都相等，則該四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為2：1；
④若以A為端點(diǎn)的三條棱所在直線兩兩垂直，則A在平面BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心；
⑤分別作兩組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，則所得的兩條直線異面．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：如圖，對(duì)于①，∵AB=AC，BD=CD，E為BC中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，DE⊥BC，
又AE∩ED=E，
∴BC⊥面AED，
∴面AED⊥平面ABC．
∴命題①正確；
對(duì)于②，過(guò)A作底面BCD的垂線AO，垂足為O，
連結(jié)BO并延長(zhǎng)交CD于F，連結(jié)DO并延長(zhǎng)交BC于E，
由線面垂直的判定可以證明BF⊥CD，DE⊥BC，從而可知O為底面三角形的垂心，
連結(jié)CO并延長(zhǎng)交BD于G，則CG⊥BD，再由線面垂直的判斷得到BD⊥面ACG，從而得到BD⊥AC．
∴命題②正確；
對(duì)于③，若所有棱長(zhǎng)都相等，四面體為正四面體，該四面體的外接球半徑是四面體高的四分之三，
內(nèi)切球的半徑是四面體高的四分之一，∴該四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1．
∴命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若AB⊥AC⊥AD，過(guò)A作底面BCD的垂線AO，垂足為O，
由AB⊥AC，AB⊥AD，且AC∩AD=A，得AB⊥面ACD，則AB⊥CD，進(jìn)一步由線面垂直的判定證得CD⊥面ABO，
則BO⊥CD，同理可證CO⊥BD，說(shuō)明O為△BCD的垂心．命題④正確；
對(duì)于⑤，如圖，
∵E、F、G、H分別為BC、AC、BD、AD的中點(diǎn)，
∴HF∥DC，GE∥DC，
∴EFHG為平面四邊形．
∴命題⑤錯(cuò)誤．
∴真命題的序號(hào)是①②④．
所以答案是：①②④．


【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應(yīng)用和異面直線的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系；過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）．