Question

9．在直角坐標系xOy中，以原點為O極點，以x軸正半軸為極軸，圓C的極坐標方程為$ρ=4\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-θ）$
（1）將圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）過點P（0，2）作斜率為$\sqrt{3}$直線l與圓C交于A，B兩點，試求$|{\frac{1}{|PA|}-\frac{1}{|PB|}}|$的值．

Answer 1

分析 （1）化簡得到ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ，根據x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，替換即可；
（2）求出直線l的參數方程，代入圓的方程，結合t的幾何意義求出答案即可．

解答 解：（1）由$ρ=4\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-θ）$，可得ρ=4cosθ+4sinθ，…（2分）
∴ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ，
∴x²+y²=4x+4y，
即（x-2）²+（y-2）²=8．                                       …（5分）
（2）過點P（0，2）作斜率為$\sqrt{3}$的直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）      …（7分）
代入（x-2）²+（y-2）²=8，得t²-2t-4=0，
設點A、B對應的參數分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=2，t₁•t₂=-4…（8分）
由t的幾何意義可得$|{\frac{1}{|PA|}-\frac{1}{|PB|}}|=|{\frac{1}{{|{t_1}|}}-\frac{1}{{|{t_2}|}}}|=\frac{{|{|{t_1}|-|{t_2}|}|}}{{|{t_1}||{t_2}|}}=\frac{{|{t_1}+{t_2}|}}{{|{t_1}{t_2}|}}=\frac{1}{2}$．           …（10分）

點評 本題考查了極坐標方程、參數方程問題，考查三角函數以及絕對值的意義，是一道中檔題．