Question

給出下列六個命題：
①sin1＜3sin

1

3

＜5sin

1

5

②若f'（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀取得極值；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有e^x≥0”；
④已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，則

1

x

+

1

y

=3；
⑤已知a=

∫

π 0

sinxdx，點(

3

，a)到直線

3

x-y+1=0的距離為1；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a²-3a，對任意的實數x恒成立，則實數a≤-1，或a≥4；
其中真命題是

①③④⑤

（把你認為真命題序號都填在橫線上）

Answer 1

分析：對于①考查函數y=xsin

1

x

，該函數在（

π

4

，+∞）上單調性，即可判定真假，對于②y=x³在x=0處沒有極值，對于③根據命題的否定將條件和結論同時否定，可進行判定真假，對于④根據向量的共線定理進行求解，對于⑤先根據定積分求出a，然后利用點到直線的距離公式進行求解，對于⑥|x+3|+|x-1|無最大值，不存在a使之成立．

解答：解：①考察函數y=xsin

1

x

，該函數在（

π

4

，+∞）上單調遞增，而1＜3＜5，則sin1＜3sin

1

3

＜5sin

1

5

，故正確；
②若f'（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀不一定取得極值，如y=x³在x=0處沒有極值，故不正確；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定將條件和結論同時否定，則：“?x∈R，均有e^x≥0”，故正確；
④根據題意G為三角形的重心，

AG

=

1

3

（

AB

+

AC

），

MG

=

AG

-

AM

=

1

3

（

AB

+

AC

）-x

AB

=(

1

3

-x)

AB

+

1

3

AC

，

GN

=

AN

-

AG

=y

AC

-

AG

=y

AC

-

1

3

(

AB

+

AC

)
=(y-

1

3

)

AC

-

1

3

AB

，
由于

MG

與

GN

共線，根據共線向量基本定理知，存在實數λ，使得

MG

=λ

GN

，
即 (

1

3

-x)

AB

+

1

3

AC

λ[(y-

1

3

)

AC

-

1

3

AB

]，
即

1 3 -x=- 1 3 λ 1 3 =λ(y- 1 3 )

∴

1 3 -x

- 1 3

=

1 3

y- 1 3

即x+y-3xy=0
兩邊同除以xy整理得

1

x

+

1

y

=3，故正確；
⑤定積分

∫

π 0

sinxdx=（-cosx）|₀^π=1+1=2，根據點到直線的距離公式可點(

3

，2)到直線

3

x-y+1=0的距離為1，故正確；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a²-3a，對任意的實數x恒成立，則a²-3a≥（|x+3|+|x-1|）_max，而|x+3|+|x-1|無最大值，故不正確；
故答案為：①③④⑤

點評：本題主要考查了函數值的大小比較、極值存在的條件、定積分和點到直線的距離、恒成立等有關問題，是一道綜合題，考查的知識點較多．