Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-3t+2}\\{y=4t+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸（兩坐標(biāo)系取區(qū)間的長度單位）的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：ρ=2sinθ．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）M，N分別是曲線C₁和曲線C₂上的動點，求|MN|最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁在參數(shù)方程消去參數(shù)即可得到普通方程；曲線C₂在極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ兩邊同乘以ρ，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式轉(zhuǎn)化即可；
（2）圓心O（0，1）到直線C₁的距離為d減去半徑，即可求得|MN|最小值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-3t+2}\\{y=4t+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)，可得C₁的普通方程為4x+3y-11=0；
曲線C₂：ρ=2sinθ，直角坐標(biāo)方程為x²+（y-1）²=1．
（2）如圖，圓心O（0，1）到直線C₁的距離為d=$\frac{|3-11|}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴|MN|最小值=d-r=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．