已知函數(shù)，，．
（1）若，試判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當時，求證函數(shù)存在反函數(shù)．

（1）增函數(shù)；（2）參考解析

解析試題分析：（1）當時，，.通過函數(shù)的單調(diào)性的定義可證得函數(shù)，單調(diào)遞增.
（2）由，所以將x的區(qū)間分為兩類即和.所以函數(shù).由（1）可得函數(shù)是遞增函數(shù).應(yīng)用單調(diào)性的定義同樣可得函數(shù)是遞增.根據(jù)反函數(shù)的定義可得函數(shù)存在反函數(shù).
試題解析：(1)判斷：若，函數(shù)在上是增函數(shù).
證明：當時，，
在上是增函數(shù).2分
在區(qū)間上任取，設(shè)，

所以，即在上是增函數(shù).6分
(2)因為，所以8分
當時，在上是增函數(shù)，9分
證明：當時，在上是增函數(shù)（過程略）11分
在在上也是增函數(shù)，當時，上是增函數(shù)12分
所以任意一個，均能找到唯一的和它對應(yīng)，
所以時，存在反函數(shù)14分
考點：1.函數(shù)的單調(diào)性.2.函數(shù)單調(diào)性的定義.3.反函數(shù)的概念.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（2013•重慶）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．
（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；
（2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)是偶函數(shù).
（1）求的值；
（2）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，.
（1）解方程：；
（2）令，，求證：

（3）若是實數(shù)集上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，．
（1）若，求證：函數(shù)是上的奇函數(shù)；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對任意的，存在唯一的，使；
（3）設(shè)（2）中所確定的關(guān)于的函數(shù)為，證明：當時，有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知命題表示的曲線是雙曲線；命題函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，若“”為真命題，“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）試用函數(shù)單調(diào)性定義說明函數(shù)在區(qū)間和上的增減性；
（3）若滿足：，試證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知定義在R上的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x＞0時，f(x)＜0，又f(1)＝－.
(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；
(2)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；
(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值與最小值．

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