分析 (1)由已知可得△ABP、△BCP為等腰三角形,設(shè)BP=2x,求解直角三角形可得x值,得到AB⊥AP,取CD中點(diǎn)G,證明PG⊥CD可得答案;
(2)由(1)可知,四面體A-PCD為邊長(zhǎng)是$\sqrt{2}$的正四面體,則點(diǎn)A到平面PCD的距離可求.
解答 (1)證明:如圖,
∵點(diǎn)A在平面PBC上的射影為PB的中點(diǎn)O,
∴BO=OP,且AO⊥PB,則AB=AP,
由AO⊥BP,BP⊥AC,可得BP⊥平面AOC,則BP⊥OC,得BC=PC,
設(shè)BP=2x,則AO=OC=$\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-{x}^{2}}$,再由AO2+OC2=AC2,得$2(2-{x}^{2})=(\sqrt{2})^{2}$,解得:x=1,
∴BP=2,則AB2+AP2=BP2,∴AB⊥AP,
取CD中點(diǎn)G,連接AG,則AG⊥CD,又AB∥CD,AB⊥AP,
∴AP⊥CD,則CD⊥平面APG,得CD⊥PG,
∵G為CD中點(diǎn),∴PC=PD;
(2)解:由(1)可知,四面體A-PCD為邊長(zhǎng)是$\sqrt{2}$的正四面體,
則PG=$\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$,
∴點(diǎn)A到平面PCD的距離為$\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-(\frac{\sqrt{6}}{3})^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中的點(diǎn)、線(xiàn)、面的距離的計(jì)算,考查了空間想象能力和思維能力,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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A. | $\frac{π}{12}$ | B. | $\frac{π}{6}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{5π}{6}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B. | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$ |
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A. | a4•a6=25 | B. | a4•a6≤25 | C. | a4•a6>25 | D. | a4•a6<25 |
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