【題目】如果存在常數(shù)a,使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項(xiàng),則a﹣x也是數(shù)列{an}中的一項(xiàng),稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:2,3,6,m(m>6)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)是n0(n0≥3),所有項(xiàng)之和是B,求證:數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對(duì)于一個(gè)不少于3項(xiàng),且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn},是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論,并說明理由.

【答案】
(1)解:因?yàn)?,3,6,m(m>6)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”

所以a﹣m,a﹣6,a﹣3,a﹣2也是該數(shù)列的項(xiàng),且a﹣m<a﹣6<a﹣3<a﹣2,

故a﹣m=2,a﹣6=3,即a=9,m=7


(2)證明:設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,

因?yàn)閿?shù)列{bn}是項(xiàng)數(shù)為n0項(xiàng)的有窮等差數(shù)列

若b1≤b2≤b3≤…≤b ,則a﹣b1≥a﹣b2≥a﹣b3≥…≥a﹣b ,

即對(duì)數(shù)列{bn}中的任意一項(xiàng)bi(1≤i≤n0),a﹣bi=b1+(n0﹣i)d=b +1i∈{bn}

同理可得:b1≥b2≥b3≥…≥b ,a﹣bi=b1+(n0﹣i)d=b +1i∈{bn}也成立,

由“兌換數(shù)列”的定義可知,數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”;

又因?yàn)閿?shù)列{bn}所有項(xiàng)之和是B,所以B= = ,即a=


(3)解:假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列{cn},設(shè)它的公比為q(q>1),

因?yàn)閿?shù)列{cn}為遞增數(shù)列,所以c1<c2<c3<…<cn,則a﹣c1>a﹣c2>a﹣c3>…>a﹣cn,

又因?yàn)閿?shù)列{cn}為“兌換數(shù)列”,則a﹣ci∈{cn},所以a﹣ci是正整數(shù)

故數(shù)列{cn}必為有窮數(shù)列,不妨設(shè)項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng),則ci+cn+1i=a(1≤i≤n)

①若n=3,則有c1+c3=a,c2= ,又c22=c1c3,由此得q=1,與q>1矛盾

②若n≥4,由c1+cn=c2+cn1,得c1﹣c1q+c1qn1﹣c1qn2=0

即(q﹣1)(1﹣qn2)=0,故q=1,與q>1矛盾;

綜合①②得,不存在滿足條件的數(shù)列{cn}


【解析】(1)根據(jù)數(shù)列:2,3,6,m(m>6)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”所以a﹣m,a﹣6,a﹣3,a﹣2也是該數(shù)列的項(xiàng),且a﹣m<a﹣6<a﹣3<a﹣2,由此可求m和a的值;(2)由“兌換數(shù)列”的定義證明數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”,即證對(duì)數(shù)列{bn}中的任意一項(xiàng)bi(1≤i≤n0),a﹣bi=b1+(n0﹣i)d=bn0+1i∈{bn},從而可求數(shù)列{bn}所有項(xiàng)之和;(3)假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列{cn},設(shè)它的公比為q(q>1),可知數(shù)列{cn}必為有窮數(shù)列,不妨設(shè)項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng),則ci+cn+1i=a(1≤i≤n),再分類討論,即可得到結(jié)論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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