Question

設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.

Answer 1

分析：關(guān)鍵是找出球心所在的三角形，求出內(nèi)切圓半徑.

解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，

∴AB⊥平面MAD，

由此，面MAD⊥面AC.

記E是AD的中點，從而ME⊥AD.

∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.

設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.

不妨設(shè)O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的內(nèi)心.

設(shè)球O的半徑為r，則r＝

設(shè)AD＝EF＝a,∵S_ΔAMD＝1.

∴ME＝.MF＝,

r＝≤＝-1。

當且僅當a＝，即a＝時，等號成立.

∴當AD＝ME＝時，滿足條件的球最大半徑為-1.

點評：涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。