(2012•泉州模擬)已知橢圓C的方程為:
x2
a2
+
y2
2
=1 (a>0)
,其焦點在x軸上,離心率e=
2
2

(1)求該橢圓的標準方程;
(2)設動點P(x0,y0)滿足
OP
=
OM
+2
ON
,其中M,N是橢圓C上的點,直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
,求證:x02+2
y
2
0
為定值.
(3)在(2)的條件下,問:是否存在兩個定點A,B,使得|PA|+|PB|為定值?若存在,給出證明;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)橢圓焦點在x軸上,離心率e=
2
2
,即可求出橢圓的標準方程;
(2)假設M,N的坐標,利用向量條件尋找坐標之間的關系,結合點M,N在橢圓
x2
4
+
y2
2
=1
上,即可證明x02+2
y
2
0
為定值;
(3)由(2)知點P是橢圓
x2
20
+
y2
10
=1
上的點,根據(jù)橢圓的定義可得該橢圓的左右焦點滿足|PA|+|PB|為定值.
解答:(1)解:由e=
2
2
,b2=2,解得c=b=
2
,a=2
,故橢圓的標準方程為
x2
4
+
y2
2
=1

(2)證明:設M(x1,y1),N(x2,y2),則由
OP
=
OM
+2
ON
,得(x0,y0)=(x1,y1)+2(x2,y2),
即x0=x1+2x2,y0=y1+2y2,
∵點M,N在橢圓
x2
4
+
y2
2
=1
上,
x12+2y12=4,x22+2y22=4
設kOM,kON分別為直線OM,ON的斜率,由題意知,kOMkON=
y1y2
x1x2
=-
1
2
,
∴x1x2+2y1y2=0,
x02+2
y
2
0
=(x12+4x22+4x1x2)+2(y12+4y22+4y1y2)

=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2)=20,
x02+2
y
2
0
=20
(定值)           
(3)證明:由(2)知點P是橢圓
x2
20
+
y2
10
=1
上的點,
c=
20-10
=
10
,
∴該橢圓的左右焦點A(-
10
,0)、B(
10
,0)
滿足|PA|+|PB|=4
5
為定值,
因此存在兩個定點A,B,使得|PA|+|PB|為定值.
點評:本題考查橢圓的標準方程與幾何性質,考查向量知識的運用,考查存在性問題的探究,解題的關鍵是利用向量知識,將向量坐標化.
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12
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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)
=( 。

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