Question

已知函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí), 的最大值為-4．
(I)求實(shí)數(shù)的值；
(II)設(shè)，函數(shù)，．若對任意的,總存在,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(I)； (II)

試題分析：(I) 因?yàn)楹瘮?shù)滿足,當(dāng)，所以可得f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)當(dāng)x(-4,-2),則x+4(0,2)這樣就可以f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以通過求導(dǎo)可求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的取值范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出最大值.從而解出的值.
(II)假設(shè)的值域?yàn)锳，的值域?yàn)锽，則由已知，對于任意的，使得，即函數(shù)f(x)值域的范圍比函數(shù)g(x)值域的范圍小即可.對于函數(shù)g(x)的單調(diào)性要考慮b的值.再根據(jù)，即可得結(jié)論.
試題解析：(I)由已知，得2f(x+2)=f(x),所以f(x)=2f(x+2)=4f(x+4).又因?yàn)閤(0,2)時(shí)，f(x)=lnx+x.設(shè)x(-4,-2),則x+4(0,2).所以f(x+4)="ln(x+4)+" (x+4).所以x(-4,-2)時(shí)，f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以.因?yàn)閤(-4,-2).所以.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031745360492.png" style="vertical-align:middle;" />.所以.又由可得.所以f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).所以.所以.
（II）設(shè)的值域?yàn)锳，的值域?yàn)锽，則由已知，對于任意的，使得，． 
由（I）=-1，當(dāng)時(shí),,,
∵,∴，在上單調(diào)遞減函數(shù),
∴的值域?yàn)?A=
∵,
∴（1）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，此時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031745859785.png" style="vertical-align:middle;" />，
為滿足，又∴即．  12分
（2）當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031745999782.png" style="vertical-align:middle;" />，為滿足，又,∴,∴,
綜上可知b的取值范圍是．