【題目】已知是方程 的兩個不等實根，函數(shù)的定義域為.

（1）當時，求函數(shù)的最值；

（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性；

（3）設，試證明：對于，若，則.

（參考公式： ，當且僅當時等號成立）

【答案】(1) 的最小值為， 的最大值為；

(2)單調(diào)遞增函數(shù)；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求得函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值；

（2）當時，求得的值，求得，可判定當時， ，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

（3）由（2）知，得，化簡，進而可得，應用參考公式，即可得出證明.

試題解析：

(1)當時，方程的兩實根為

，

當時， ， 在為單調(diào)遞增函數(shù)，

的最小值為， 的最大值為；

（2）

由題知： 時，所以，

在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）由（2）知，

又由題得： ，

∴

所以

由于等號不能同時成立，故得證.

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