Question

【題目】如圖，等腰梯形中，，，E為CD中點(diǎn)，將沿AE折到的位置．

（1）證明：；

（2）當(dāng)折疊過程中所得四棱錐體積取最大值時，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）在平面圖中，連BE，DB，設(shè)DB交AE于F，要證，轉(zhuǎn)證平面，即證；

（2）要使四棱錐體積最大，則需要平面垂直于底面，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值．

解：（1）在平面圖中，連BE，DB，設(shè)DB交AE于F，

因?yàn)?/span>是等腰梯形，，，E為CD中點(diǎn)

即，且

故四邊形為平行四邊形

又

所以平行四邊形為棱形，

同理可證也為棱形

所以．

于是得出在立體圖形中，

，平面

所以平面，

平面，

故

（2）要使四棱錐體積最大，則需要平面垂直于底面，

此時平面，

以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則

則

設(shè)平面的法向量為

由，得

令，得

直線與平面所成角的正弦值為.