Question

【題目】如圖所示七面體中，，平面，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，M，N分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先利用平面與平面平行的性質(zhì)得出直線與直線平行，結(jié)合平行四邊形及平行的傳遞性可得，進(jìn)而可證平面；

（2）利用線面平行把三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積,結(jié)合三棱錐的體積公式可求結(jié)果.

（1）取的中點(diǎn)F，連接，.

因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面，

平面平面，

所以，同理可得，，

，而，

所以四邊形和為平行四邊形.

又四邊形是菱形，，

所以，而點(diǎn)F為的中點(diǎn)，

所以，

又，所以四邊形為平行四邊形，從而.

點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，所，

，則四邊形是平行四邊形，得，

所以.

而平面，平面，所以平面.

（2）由（1）可知，平面，所以點(diǎn)M到平面的距離與點(diǎn)N到平面的距離相等，則三棱錐的體積

.

由，，得為正三角形，

而F為中點(diǎn)，所以，從而，且.

又平面，得，從而，，

所以平面，且.

所以，

即三棱錐的體積為.