Question

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，
，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

試題分析：（1）連接，利用中位線得到，然后再利用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）證法一是建立以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明；證法二：先證明，于是得到，于是得到，再證明平面，從而得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到；證法三是，得到，于是得到，再證明平面，從而得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到；（3）解法一是建立以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量法求二面角的余弦值；解法二是過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于，連接，先利用平面，于是說(shuō)明為二面角的平面角，然后在直角，然后在直角中求的值.
（1）證明：連接，是的中點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，，
又面，面，平面；
（2）證法一：在直角中，，，，
棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系如圖示，則

，，，，，
，，
，；
證法二：連接，在直角中，，，，

，，
，，
即，
，，且，
平面，，又，故平面，
平面，；
證法三：連接，在直角中，，，，
設(shè)，，，
，即，
，，且，平面,
，又，故平面，
平面，；
（3）解法一：棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

依題意得，，，，，，，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，
由，得，令，得，
同理可得面的一個(gè)法向量為，
故二面角的平面角的余弦值為，
解法二：過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于，連接，

平面底面，平面，
，平面，，
故為二面角的平面角，
在中，，，
，，
又，故，.