【題目】數(shù)列,,,…,,…,對于給定的,),記滿足不等式:,)的構(gòu)成的集合為

(Ⅰ)若數(shù)列,寫出集合;

(Ⅱ)如果)均為相同的單元素集合,求證:數(shù)列,,…,,…為等差數(shù)列;

(Ⅲ)如果,)為單元素集合,那么數(shù)列,,…,,…還是等差數(shù)列嗎?如果是等差數(shù)列,請給出證明;如果不是等差數(shù)列,請給出反例.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)是等差數(shù)列,證明見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意得,,分兩類討論解出不等式,再根據(jù)的定義即可求出;

(Ⅱ)由題意,若中均只有同一個元素,不妨設(shè)為,當(dāng)時,由題意可得,當(dāng)時,有,則成立,從而得出證明;

(Ⅲ)不妨設(shè),,,由題意可得,則,則;設(shè),則,則,首先證時的情況,不妨設(shè),由,為單元素集,則;再證,由的定義可證,則,則存在正整數(shù)使得,而,得出矛盾,從而,同理可證,由此可得結(jié)論.

(Ⅰ)解:由題意得,為滿足不等式構(gòu)成的集合,

∵數(shù)列,

,即

當(dāng)時,上式可化為,

當(dāng)時,上式可化為,得,

;

(Ⅱ)證:對于數(shù)列,,,,

中均只有同一個元素,不妨設(shè)為,

下面證明數(shù)列為等差數(shù)列,

當(dāng)時,有,①

當(dāng)時,有,②

∵①②兩式對任意大于1的整數(shù)均成立,

成立,

∴數(shù)列,,,為等差數(shù)列;

(Ⅲ)解:對于數(shù)列,,,

不妨設(shè),,,,

,知,

,知:,即,

,∴

設(shè),則,

這說明,則,

∵對于數(shù)列,中均只有一個元素,

首先證時的情況,不妨設(shè),

,又為單元素集,∴,

再證,證明如下:

的定義可知:,,∴,

的定義可知,

,∴,

,∴,

則存在正整數(shù),使得,③

,這與③矛盾,

,

同理可證,即,

∴數(shù)列,,還是等差數(shù)列.

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