Question

 

已知函數(shù)（其中為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)＝時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并寫出其單調(diào)區(qū)間；；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 已知函數(shù)（其中為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)＝時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并寫出其單調(diào)區(qū)間；；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

解：（Ⅰ）因?yàn)閤 >0，

當(dāng)＝時(shí)，==，

令，所以，

令，所以；                                     

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

單調(diào)減區(qū)間為-------------------------------------7分

                      

（Ⅱ）解一: 令

     當(dāng)時(shí)，----------------------------------------------------------10分

令則

所以h(x)在(0,e)上為增函數(shù)，在(e,+上為減函數(shù)，

所以h(x)_max=h(e)=---------------------------------------------------------------13分

    所以x >0時(shí),g(x)>h(x)恒成立，即

    即

   > 0恒成立，

所以f (x)=0無(wú)解.----------------------------------------------------------------------15分

解二: 設(shè)f (x)的極小值點(diǎn)為x₀，則，

令g(x₀)= ,則= ，---------------------------------10分

當(dāng)x₀ > e 時(shí)，> 0,

當(dāng)x₀ < e 時(shí)，< 0,

所以g(x₀)_min= g(e)=0, 即>0,------------------------------------------13分

故>0恒成立.

所以f (x)=0無(wú)解.----------------------------------------------------------------------15分