已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.

(I)  (II)

解析試題分析：(I)由已知可得b=c=1，再由a2=b2+c2，解出a即可.
(II)設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，直線AB的方程為y=k（x-2），代入橢圓中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由判別式求出k的取值范圍，和用k表示的x1+x2，x1x2的表達式，然后分以O(shè)或A或B為直角頂點，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件列出關(guān)于k的方程，求解即可.
試題解析：(Ⅰ)  ，所以橢圓方程為 
(Ⅱ)由已知直線AB的斜率存在,設(shè)AB的方程為: 
由   得 
,得:,即 
設(shè),  
(1)若為直角頂點,則 ,即 ,
,所以上式可整理得,
,解,得,滿足 
(2)若為直角頂點,不妨設(shè)以為直角頂點,,則滿足:
,解得,代入橢圓方程,整理得, 
解得,,滿足 
時,三角形為直角三角形  
考點：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的相交的條件；3.向量垂直的充要條件.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知△ABC中, 點A，B的坐標(biāo)分別為A（－，0），B（，0）點C在x軸上方．
（Ⅰ）若點C坐標(biāo)為（，1），求以A，B為焦點且經(jīng)過點C的橢圓的方程：
（Ⅱ）過點P（m，0）作傾斜角為的直線l交（1）中曲線于M，N兩點，若點Q（1，0）恰在以線段MN為直徑的圓上，求實數(shù)m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，橢圓C過點，兩個焦點為．
(1)求橢圓C的方程；
(2) 是橢圓C上的兩個動點，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為、，P為橢圓 上任意一點，且的最小值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）動圓與橢圓相交于A、B、C、D四點，當(dāng)為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的長軸兩端點分別為，是橢圓上的動點，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點，交于點．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點時，的面積為12，點到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數(shù)列．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知一條曲線在軸右邊，上每一點到點的距離減去它到軸距離的差都等于１.
（１）求曲線Ｃ的方程；
（２）若過點Ｍ的直線與曲線Ｃ有兩個交點，且，求直線的斜率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點為，且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的上下頂點分別為,是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,證明:為定值,并求出該定值；
(3)在橢圓上，是否存在點，使得直線與圓相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標(biāo)及對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線的參數(shù)方程為是參數(shù)，是曲線與軸正半軸的交點．以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求經(jīng)過點與曲線只有一個公共點的直線的極坐標(biāo)方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于表中：











（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)斜率不為0的動直線與有且只有一個公共點，且與的準(zhǔn)線交于，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案