(2008•湖北模擬)已知向量
a
=(2cosx,tan(x+α))
b
=(
2
sin(x+α),tan(x-α))
,已知角α(α∈(-
π
2
,
π
2
))
的終邊上一點P(-t,-t)(t≠0),記f(x)=
a
b

(1)求函數(shù)f(x)的最大值,最小正周期;
(2)作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的圖象.
分析:(1)由角α(α∈(-
π
2
,
π
2
))
的終邊上一點P(-t,-t)(t≠0),可得tanα=1,即α=
π
4
,進而得到f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)
,再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案.
(2)首先根據(jù)x的范圍求出2x+
π
4
的范圍,再列表,進而結(jié)合五點作圖法畫出函數(shù)的圖象.
解答:解:(1)因為角α(α∈(-
π
2
,
π
2
))
的終邊上一點P(-t,-t)(t≠0)
所以tanα=1,
所以α=
π
4
,
所以f(x)=
a
b
=2
2
cosxsin(x+
π
4
)+tan(x+
π
4
)(x-
π
4
)

=2cosxsinx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=
2
sin(2x+
π
4
)

所以f(x)的最大值為
2
,最小正周期T=π.
(2)列表:
 2x+
π
4
 
π
4
 
π
2
 π  
2
 2π  
4
 x  0  
π
8
 
8
 
8
 
8
 π
 y  1  
2
 0 -
2
 0  1
所以f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)
的圖象為:
點評:本題主要考查了利用二倍角的正弦余弦公式對三角函數(shù)式的化簡,輔助角公式ainx+bcosx=
a2+b2
sin(x+θ)
的運用,正弦函數(shù)的最值及周期性的求解,五點法作三角函數(shù)的圖象,靈活運用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
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k
n+1
(k>0,k為常數(shù),n∈Z且n≥0),若產(chǎn)品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.
(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;
(2)問從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

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(2008•湖北模擬)已知向量
a
=(1,2),向量
b
=(x,-2),且
a
∥(
a
-
b
)
,則實數(shù)x等于(  )

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