【題目】已知橢圓的離心率，橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右頂點(diǎn)分別為B1，B2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2.原點(diǎn)到直線A2B2的距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2，分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與以MN為直徑的圓G相切，切點(diǎn)為T.證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值.

【答案】（1）y2＝1（2）證明見解析；定值2

【解析】

（1）設(shè)a＝2m，cm，則b＝m.直線A2B2方程為mx﹣2my﹣2m2＝0.由點(diǎn)到直線距離公式能求出m＝1.由此能求出橢圓方程.

（2）由A1（0，1）A2（0，﹣1），設(shè)P（x0，y0），分別求出直線PA1和直線PA2，設(shè)圓G的圓心為，利用圓的性質(zhì)能證明線段OT的長(zhǎng)度為定值2；

（1）因?yàn)闄E圓C的離心率e，故設(shè)a＝2m，cm，則b＝m.

直線A2B2方程為bx﹣ay﹣ab＝0，即mx﹣2my﹣2m2＝0.

所以，解得m＝1.

所以a＝2，b＝1，橢圓方程為y2＝1；

（2）由（1）可知A1（0，1）A2（0，﹣1），設(shè)P（x0，y0），

直線PA1：y﹣1x，令y＝0，得xN，

直線PA2：y+1x，令y＝0，得xM，

設(shè)圓G的圓心為，

則.

OG2.

OT2＝OG2﹣r2.

而y02＝1，所以x02＝4（1﹣y02），所以OT2＝4，

所以OT＝2，即線段OT的長(zhǎng)度為定值2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明：.

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【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)．由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3．設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是（ ）

①由圖1和圖2面積相等得；

②由可得；

③由可得；

④由可得．

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③

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【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．

（1）證明：BC⊥平面ACFE；

（2）設(shè)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角為θ，求cosθ的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù)，，是的導(dǎo)函數(shù).

（1）若，求在處的切線方程；

（2）若在可上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn).

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【題目】對(duì)有個(gè)元素的總體進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體和（是給定的正整數(shù)，且），再?gòu)拿總�(gè)子總體中各隨機(jī)抽取2個(gè)元素組成樣本.用表示元素和同時(shí)出現(xiàn)在樣本中的概率.

（1）求的表達(dá)式（用，表示）；

（2）求所有的和.

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【題目】已知，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在處的切線方程；

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.

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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，為曲線上的一動(dòng)點(diǎn).

（I）求動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)從變動(dòng)到時(shí)，線段所掃過的圖形面積；

（Ⅱ）若直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，是否存在點(diǎn)，使得為線段的中點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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【題目】函數(shù)是上的偶函數(shù)，且，若在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上是（ ）

A. 增函數(shù) B. 減函數(shù) C. 先增后減的函數(shù) D. 先減后增的函數(shù)

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