Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于矩形AEDC中，B點(diǎn)為ED的中點(diǎn)，AC=AA₁=2AE=2．
（1）求異面直線AB₁與A₁D所成角的余弦值；
（2）求平面A₁B₁E與平面AEDC所成二面角大小的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出異面直線AB₁與A₁D方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．
（2）分別求出平面A₁B₁E與平面AEDC的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖所示，則A₁（0，0，2），B₁（1，1，0），B（1，1，2），D（1，2，0），E（1，1，0）
從而

AB1

=（1，1，2），

A1D

=（1，2，-2）
∴cos＜

AB1

，

A1D

＞=-

6

18

又由兩異面直線夾角的范圍是（0，

π

2

]
∴異面直線AB₁與A₁D所成角的余弦值為

6

18

（II）設(shè)

n

=（x，y，z）為平面A₁B₁E的一個(gè)法向量
∵

A1E

=（1，0，-2），

A1B1

=

AB

=（1，1，0）
由

n • A1E =0 n • AB =0

，即

x-2z=0 x+y=0

令z=1，得平面A₁B₁E的一個(gè)法向量

n

=（2，-2，1）
又∵

m

=

AA1

=（0，0，2）是平面AEDC的一個(gè)法向量
由cos＜

m

，

n

＞=

2

2×3

=

1

3

得
平面A₁B₁E與平面AEDC所成二面角的余弦值為

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是有空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標(biāo)系將空間線線夾角及二面角轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．