已知函數(shù),其中    

(1)      當(dāng)滿足什么條件時,取得極值?

(2)      已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.

解析:  (1)由已知得,令,得,

要取得極值,方程必須有解,

所以△,即,   此時方程的根為

,,

所以  

當(dāng)時,

x

(-∞,x1)

x 1

(x1,x2)

x2

(x2,+∞)

f’(x)

0

0

f (x)

增函數(shù)

極大值

減函數(shù)

極小值

增函數(shù)

所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.

當(dāng)時,

x

(-∞,x2)

x 2

(x2,x1)

x1

(x1,+∞)

f’(x)

0

0

f (x)

減函數(shù)

極小值

增函數(shù)

極大值

減函數(shù)

所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.

綜上,當(dāng)滿足時, 取得極值.   

(2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使上恒成立.

恒成立,  所以

設(shè),,

(舍去), 

當(dāng)時,,當(dāng),單調(diào)增函數(shù);

當(dāng),單調(diào)減函數(shù),

所以當(dāng)時,取得最大,最大值為.

所以

當(dāng)時,,此時在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)最大,最大值為,所以

綜上,當(dāng)時, ;    當(dāng)時,    

【命題立意】:本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(09年大豐調(diào)研) (16分)

已知函數(shù)(其中) ,

從左到右依次是函數(shù)圖象上三點,且.

(Ⅰ) 證明: 函數(shù)上是減函數(shù);

(Ⅱ)求證:是鈍角三角形;

(Ⅲ) 試問,能否是等腰三角形?若能,求面積的最大值;若不能,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(06年天津卷文)(12分)

已知函數(shù)其中為參數(shù),且

       (I)當(dāng)時,判斷函數(shù)是否有極值;

       (II)要使函數(shù)的極小值大于零,求參數(shù)的取值范圍;

       (III)若對(II)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)  其中, 。作出函數(shù)的圖象;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省杭州市蕭山五校高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)(其中常數(shù)a,b∈R)。 是奇函數(shù).

(Ⅰ)求的表達(dá)式;

(Ⅱ)求在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期九月診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本題滿分12分)

已知函數(shù)其中a>0,e為自然對數(shù)的底數(shù)。

(I)求

(II)求的單調(diào)區(qū)間;

(III)求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值。

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案