Question

【題目】如圖，在地正西方向的處和正東方向的處各一條正北方向的公路和，現計劃在和路邊各修建一個物流中心和.

（1）若在處看，的視角，在處看測得，求，；

（2）為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路和，設，公路的每千米建設成本為萬元，公路的每千米建設成本為萬元.為節(jié)省建設成本，試確定，的位置，使公路的總建設成本最小.

Answer 1

【答案】（1），；（2）當為，且為時，成本最�。�

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到，利用，以及的展開公式列方程，解方程求得的值.（2）利用表示出，由此求得總成本的表達式，利用導數求得為何值時，總成本最小.

解：（1）在中，由題意可知，，則．

在中，，在中

因為，所以，

于是

所以

答：，

（2）在中，由題意可知，則．

同理在中，，則．

令，，

則，

令，得，記，，

當時，，單調減；

當時，，單調增．

所以時，取得最小值，

此時，．

所以當為，且為時，成本最小．